Физматика физика математика

Хороший вопрос!
Для начала надо уяснить себе, что это - дифференциальные операции над векторным полем - векторной функцией координат.
О векторном поле сподручнее всего говорить, например, для задач гидродинамики. Например, там есть векторное поле скоростей.(жидкости в данной точке)
Но самое простое векторное поле - это поле сил тяжести, например. На небольшом участке земной поверхности его можно считать приблизительно однородным, то есть в любой точке - один и тот же вектор ускорения свободного падения.
Промежуточными к пониманию дивергенции и ротора являются соответственно операции потока векторного поля и его циркуляции. Причем поток считают для некоторой поверхности, а циркуляцию - для некоторого контура (хотя логичнее начинать с некоторой линии. Но тогда это не будет циркуляция)
Сами эти названия, в общем-то, говорят за себя. Если вы посчитаете поток поля скоростей жидкости, то получите объемный расход жидкости через эту поверхность. Если же посчитаете циркуляцию, то получите ... некий показатель того, в какой степени жидкость, вытекая из некоторой точки, возвращается в эту же точку.
Как называется такое движение жидкости? Правильно, вихрь. Вот поэтому-то векторные поля, для которых обнаруживаются ненулевые циркуляции, называют вихревыми. Типичным вихревым полем является магнитное.
Если же у поля не обнаружено ни одной такой точки, то такое поле называют потенциальным. Типичный пример - электрическое поле, создаваемое (неподвижными) зарядами.
Следующий этап - представьте, что вы вычисляете поток через замкнутую поверхность. У вас получится нечто взаимодополняющее к циркуляции - характеристика того, в какой степени жидкость вытекает (или втекает) в заданную область. А точнее даже - объемный расход втекания или вытекания.
(понятно, что в случае жидкости это втекание или вытекание не может быть бесконечным. Но мы же вычисляем мгновенную характеристику поля.)
Наконец, последний этап таков. Представьте, что для потока через замкнутую поверхность вы берете всё меньшую и меньшую поверхность, устремляя её к некоторой точке. В итоге у вас и получится дивергенция (то есть по-латыни расхождение) векторного поля.
То же самое мы делаем и для циркуляции - делаем контур циркуляции всё меньше и меньше, устремляя его к некоторой точке. В итоге мы и получим ротор (по-латыни - вихрь) векторного поля. (в данной точке)