Физматика физика математика

Геометрический объект, описываемый уравнением вида a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4=b - это гиперплоскость. Пересечение 2-х гиперплоскостей дает нам обычную плоскость
(см. P1), а вот 3-х (см. P2. Здесь на самом деле 3 гиперплоскости. Т.к. объект задан в параметической форме) - это уже прямая.
Поэтому ваша формулировка задачи содержит внутреннее противоречие.

Но попробуем решить вашу задачу в такой формулировке.
Прямая, проходящая через точку B:
x1=6+a1*v
x2=5+a2*v
x3=1+a3*v
x4=-1+a4*v
где {a1,a2,a3,a4} - пока неbзвестный направляющий вектор прямой.
Чтобы она пересекала прямую P2, необходимо:
4+t=6+a1*u
4 + 2*t=5+a2*u
5 + 3*t=1+a3*u
4 + 4*t=-1+a4*u
параметр u, вообще говоря, не обязан совпадать с параметром t, но, поскольку нам нужно найти {a1,a2,a3,a4} с точностью до линейной зависимости,
мы можем допустить u=t.Тогда:
4 + t=6+a1*t
4 + 2*t=5+a2*t
5 + 3*t=1+a3*t
4 + 4*t=-1+a4*t
Откуда:
a1=1-2*u
a2=2-u
a3=3+4*u
a4=4+5*u,
где u=1/t
Что равносильно:
a2- произвольно
a1=-3+2*a2
a3=11-4*a2
a4=14-5*a2
Потребуем теперь, чтобы наша прямая пересекала плоскость P1.
-x1 + 2*x2 + x3 = 1
x1 + x4 = 1
x1=6+(-3+2*a2)*v
x2=5+a2*v
x3=1+(11-4*a2)*v
x4=-1+(14-5*a2)*v
эта система должна иметь решение.
-(6+(-3+2*a2)*v)+2*(5+a2*v)+(1+(11-4*a2)*v)=1
6+(-3+2*a2)*v+(-1+(14-5*a2)*v)=1
Решив эту систему, получим
a2 = 3, v = -2
Итак, направляющий вектор искомой прямой:
a2=3
a1=-3+2*3=3
a3=11-4*3=-1
a4=14-5*3=-1
Эта прямая задается как
x1=6+3*v
x2=5+3*v
x3=1-1*v
x4=-1-1*v
и пересекает P1 в точке
x1=6+3*(-2)=0
x2=5+3*(-2)=-1
x3=1-1*(-2)=3
x4=-1-1*(-2)=1